жесткость стержня на изгиб

1,77 Mb.страница17/26Дата конвертации02.10.2011Размер1,77 Mb.Тип Смотрите также:             17           ^ 13 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ И УГЛОВЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ 13.1 Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки и его применение к определению перемещений и углов поворота Под действием внешней нагрузки ось балки искривляется. Перемещение центра тяжести сечения ^ АА4 по направлению, перпендикулярному оси балки, называется прогибом балки в данной точке сечения и обозначается у. Угол , на который сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, называется углом поворота сечения (рисунок 13.1). При анализе напряжений была получена основная формула теории изгиба: (13.1) Из нее , то есть радиус кривизны оси балки прямо пропорционален жесткости балки и обратно пропорционален внутреннему изгибающему моменту. Рисунок 13.1 Из математики известна формула кривизны линии в точке с координатами (х, у): где ; . В большинстве практических задач перемещения точек оси стержня малы, поэтому также малая величина. Принимаем , тогда . И окончательно (13.2) Получено дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. Для того, чтобы в правой части равенства (13.2) всегда был положительный знак, используем следующие правила: Рисунок 13.2 Т (13.3) аким образом, знаки моментов и у// совпадают, поэтому уравнение (13.2) принимает вид Для получения уравнения упругой линии в форме, дающей непосредственную связь между прогибом у и абсциссой х, следует проинтегрировать два раза уравнение (13.3). После каждого интегрирования появляется постоянная, которая определяется из граничных условий (условий закрепления балки). Определим перемещение у и угол поворота сечения стержня, соответствующего точке ^ А (рисунок 13.1): M = F( x) или E x y//= F( x) = F Fx. Считаем, что жесткость стержня при изгибе EJx постоянная. Интегрируем дважды, получим: Постоянные интегрирования С1 и С2 определяют по известным граничным условиям. При х = 0 , у = 0. Отсюда С1 = 0; С2 = 0 Тогда угол поворота и прогиб у для сечения, соответствующего координате х, равны: Найдем угол поворота и прогиб у на конце балки: PPPPPPPPPPPPPP Использование непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений изогнутой оси балки приводит к решению системы уравнений с большим числом неизвестных постоянных интегрирования. ^ 13.2 Метод начального параметра (универсальное уравнение изогнутой оси балки) При выводе уравнения изогнутой оси стержня методом начального параметра применим следующие правила. 1. Начало координат поместим на левом конце балки, направляя ось х вправо, а ось у вверх. 2. При вычислении моментов будем рассматривать ту часть балки, которая содержит начало координат, то есть всегда будем определять момент в сечении, подходя к нему с левой стороны. 3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих скобки, будем вести без их раскрытия, например, (13.4) 4. Если на балку действует распределенная нагрузка, не доходящая до ее конца, то нагрузку следует продолжить до конца, а чтобы не изменить условия работы балки, следует одновременно приложить нагрузку обратного знака (рисунок 13.3). Рисунок 13.3 5. Если на балку действует сосредоточенный момент m на расстоянии а от левой опоры (рисунок 13.4), изгибающий момент в сечении балки 2 равен RА.xP Pm. Для дальнейших преобразований этот момент удобно записать следующим образом: Рисунок 13.4 (13.5) Пусть балка под действием различных по характеру положительных нагрузок, указанных на рисунке. 13.5, находится в равновесии. Схема приложения силовых факторов такова, что необходимо рассмотреть 5 участков балки. Рисунок 13.5 1-й участок 0А На участке 0А нагрузки нет, следовательно, выражения, определяющие уравнение упругой линии, будут иметь вид 2-й участок АВ. Применим пятое правило: Интегрируем это выражение, применяя первое правило: 3-й участок ВС. ;

Прикладная механика 26 чел. помогло.

13 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ И УГЛОВЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ - Прикладная механика